Compute vec i×(vec j+vec k)-vec j×(vec i+vec k)+vec k×(vec…

Compute $\vec i\times(\vec j+\vec k)-\vec j\times(\vec i+\vec k)+\vec k\times(\vec i+\vec j+\vec k)$.

Explanation of Method

A combination of vector products of the unit vectors.

\[ \vec i\times(\vec j+\vec k)=\vec k-\vec j, \]

\[ \vec j\times(\vec i+\vec k)=-\vec k+\vec i, \]

\[ \vec k\times(\vec i+\vec j+\vec k)=\vec j-\vec i+\vec 0. \]

\[ (\vec k-\vec j)-(\vec i-\vec k)+(\vec j-\vec i)=-2\vec i+0\,\vec j+2\vec k. \]

\[-2\vec i+2\vec k\]

$O$ $-2\vec i$ $2\vec k$ $-2\vec i+2\vec k$

The result $-2\vec i+2\vec k$ lies in the $xOz$ plane (it has no $\vec j$ component); its length is $2\sqrt2$.

\[\boxed{\,-2\vec i+2\vec k\,}\]