vec a=vec p+3vec q , vec b=7vec p-5vec q , vec c=vec p-4vec…

$\vec a=\vec p+3\vec q$, $\vec b=7\vec p-5\vec q$, $\vec c=\vec p-4\vec q$, $\vec d=7\vec p-2\vec q$. If $\vec a\perp\vec b$ and $\vec c\perp\vec d$, find the angle between $\vec p$ and $\vec q$.

Explanation of Method

The angle between p and q from two perpendicularity conditions.

Step 1: Two equations

\[ \vec a\cdot\vec b=7\vec p^{\,2}+16\,\vec p\cdot\vec q-15\vec q^{\,2}=0 \qquad(\mathrm I) \]

\[ \vec c\cdot\vec d=7\vec p^{\,2}-30\,\vec p\cdot\vec q+8\vec q^{\,2}=0 \qquad(\mathrm{II}) \]

Step 2: Solving

\[ (\mathrm I)-(\mathrm{II}):\quad 46\,\vec p\cdot\vec q-23\vec q^{\,2}=0\ \Longrightarrow\ \vec p\cdot\vec q=\tfrac12|\vec q|^2. \]

\[ \text{into (II)}:\quad 7|\vec p|^2-15|\vec q|^2+8|\vec q|^2=0\ \Longrightarrow\ |\vec p|=|\vec q|. \]

Step 3: The angle

\[ \cos\varphi=\frac{\vec p\cdot\vec q}{|\vec p||\vec q|}=\frac{\frac12|\vec q|^2}{|\vec q|^2}=\frac12. \]

\[\varphi=60^\circ\qquad(\text{and }|\vec p|=|\vec q|)\]

Check with $|\vec p|=|\vec q|=k$: $7k^2+8k^2-15k^2=0$ and $7k^2-15k^2+8k^2=0$ $\checkmark$

$O$ $\vec p$ $\vec q$ $\vec a$ $\vec b$

$\vec a=\vec p+3\vec q$
$\vec b=7\vec p-5\vec q$

$|\vec p|=|\vec q|$, $\angle(\vec p,\vec q)=60^\circ$: $\vec a\perp\vec b$

$O$ $\vec p$ $\vec q$ $\vec c$ $\vec d$

$\vec c=\vec p-4\vec q$
$\vec d=7\vec p-2\vec q$

$|\vec p|=|\vec q|$, $\angle(\vec p,\vec q)=60^\circ$: $\vec c\perp\vec d$

Result

\[\boxed{\,\varphi=60^\circ\qquad(\text{and }|\vec p|=|\vec q|)\,}\]